Về các nhóm con trong vành chia
➤ Gửi thông báo lỗi ⚠️ Báo cáo tài liệu vi phạmNội dung chi tiết: Về các nhóm con trong vành chia
Về các nhóm con trong vành chia
TÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia tất cả các tính chất của trường, ngoại trừ việc nó có thế không giao hoán. Chính điêu này đã làm nên sự khác biệt đáng kế giữa vành chia và trường. Nếu như câu trúc của trường đã được nghiên cứu rất kỹ và đã đạt được những kết quả khá hoàn hảo thì đến nay vẫn còn nhiêu điêu vê cấu trúc vành chia chư Về các nhóm con trong vành chia a được biết đến. Thời gian gân đây có nhiêu công trình nghiên cứu xoay quanh các nhóm con nhân á chuẩn tắc và các nhóm con nhân tối đại của vành chiaVề các nhóm con trong vành chia
đã được công bố ( [l]-[2]-[3]-[5]-[6]-[7]-[8]-[10]-...)- Điêu này cho thấy tính thời sự của vân đê vừa nêu. Mục tiêu của chúng tôi trong luận án này lTÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia tủy linh, giúi dược) địa phương nếu với mọi tập con hữu hạn s của G, nhóm con sinh bâi s là hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được). Hiến nhiên nếu G là hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) thì G là hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) địa phương. Nếu với mọi phân tử của G sô phân tử liên hợp Về các nhóm con trong vành chia của X trong G là hữu hạn thì ta nói G là một1FC—nhóm. Một nhóm con Ar của G được gọi là á chuẩn tắc (subnormal) trong G nếu tôn tại một dãy các nhóm cVề các nhóm con trong vành chia
on Ar0 = Ar. Ari,..., A\- = G của G sao cho Ni chuẩn tắc trong M+1 với mọi ỉ € 0, k - 1 := {0.1.2,..., k - 1}.Cho D là vành chia. Ký hiệu D* là nhóm nTÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia Vành chia D được gọi là hữu hạn chiêu trên tâm nếu D là không gian véc tơ hữu hạn chiêu trên Z(D). D được gọi là hữu hạn chiều địa phương trên tâm nếu với mọi tập con hữu hạn s trong D, vành chia sinh bởi s trên Z(D) là không gian véc tơ hữu hạn chiêu trên Z(D). Nếu mọi phân tử của D* đêu đại số tr Về các nhóm con trong vành chia ên Z(D) thì ta nói D là vành chia đại sô trên tởm. Một phân tử X € D* được gọi là cỏn trên tâm Z(D) nếu tôn tại số nguyên dương ?ì(.r) phụ thuộc vào XVề các nhóm con trong vành chia
sao cho xnW G Z(D). Một tập hợp 0 Tẻ s c D được gọi là cân trên tâm nếu mọi phân tử của nó đêu căn trên Z(D). Giả sử Pl < P2 < ... là một dãy các sô TÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia vành con của Dn+1 = DntyqAn+ỉ, ta có D = Un>iDn là vành chia với tâm là Z(D) = Q và rõ ràng D là vành chia hữu hạn chiêu địa phương trên tâm nhưng D là không gian vectơ vô hạn chiêu trên tâm của nó. Điêu này cho thấy lớp các vành chia hữu hạn chiêu địa phương trên tâm thực sự rộng hơn lớp các vành c Về các nhóm con trong vành chia hia hữu hạn chiêu trên tâm.2Vê phân mình, lớp các vành chia hữu hạn chiêu địa phương trên tâm lại thực sự nằm trong lớp các vành chia đại số trên tâm.Về các nhóm con trong vành chia
Một số nghiên cứu cố điển vê vành chia được bắt nguồn từ định lý nối tiếng sau đây, được Wedderburn chứng minh năm 1905:Định lý VVedderburn. Mọi vành TÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia mà vẫn làm cho vành chia giao hoán. Nói cách khác chúng là những sự tống quát hóa khác nhau của Định lý Wedderburn. Một trong những hướng nghiên cứu đó là thay tính chất hữu hạn bằng tính chất giâi dược của nhóm nhân. Chầng hạn như sử dụng các tính chát của dãy tâm tổng, không khó khăn lắm có thể c Về các nhóm con trong vành chia hứng minh được: Nêu nhóm nhàn cúa vành chia là nhóm tùy linh thì vành chia giao hoãn. L.K.Hua mở rộng kết qua này bằng cách thay tính lũy linh bằng tíVề các nhóm con trong vành chia
nh giâi được (xem [9]) trong định lý sau đáy:Định lý A. Nếu nhóm nhân cua vành chia D giải dược thì D là trường.Tuy nhiên chứng minh kết quả của Hua kTÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia à bây giờ ta quen gọi là Định lý Cartan-Brauer-3Hua:Định lý Cartan-Brauer-Hua. Cho K là vành chia con thực sự cua một vành chia không giao hoãn D. Nếu K* chuẩn tắc trong D* thỉ K nằm trong Z(D).Điêu này cho thấy mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc và tính giao hoán của một nhóm con trong vành chia. Từ c Về các nhóm con trong vành chia ác kết quả này, một cách tự nhiên ta có thế đặt câu hỏi: Nếu nhóm nhân trong vành chia thỏa tính chất A làm cho vành chia giao hoán thì một nhóm con áVề các nhóm con trong vành chia
chuẩn tắc trong vành chia thỏa tính chát >1 có nằm trong tâm của vành chia hay không?. Trong hướng nghiên cứu này xin được nhắc đến một kết qua của sTÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia án chúng tôi đã chứng minh được:Định lý 1. Trong một vành chia D, mọi nhóm con á chuẩn tấc ỉùy linh địa phương cùa D* đ'êu nằm trong Z(D).Khi thêm giầ thiết D là vành chia đại sô trên tâm chúng tôi nhặn được kết quả sau:Định lý 2. Trong một vành chìa D đại số trên tâm, mọi nhóm con á chuẩn tấc gidi Về các nhóm con trong vành chia được (lịa phương cua D* đều nằm trong Z(DỴ.Việc khảo sát tính chất căn trong vành chia cũng được nghiên cứu rất nhiêu. Ví dụ, có thế nêu ra một kết qVề các nhóm con trong vành chia
uả sau của4Kaplansky:Định lý c (Kaplans ky). ([[9], Định lý 15.5]) Nếu í) /á vánh chia cđn trên lâm thì I) giao hoán.Theo định nghĩa Ihì vành chia /) TÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia rong hướng nghiên cứu này xin được nhắc dến mội giầ thuyêì do L.N.Herslein [5] nêu ra lừ năm 1978:Giả thuyết 1 (Herstein). Nếu c ỉà nhóm con ứ chuẩn tắc cùa /)■ và G cán trên Z(D) thì G nằm trong Z(D).Cũng trong [5] Herstein đã chứng minh được rằng giầ thuyết trên là đúng nếu G là nhóm con hữu hạn á Về các nhóm con trong vành chia chuẩn tắc trong D*. Tuy nhiên cho tới hiện nay cũng chưa có cảu trả lời cho trường hợp tổng quát. Năm 2004, trong [3], B.x. Hâi và L.K. Huỳnh dựa vàoVề các nhóm con trong vành chia
tính hữu hạn tâm của vành chia D dể xét D' như là nhóm tuyến tính trên trường Z(D) và sử dụng các phương pháp nghiên cứu dối với nhóm tuyến tính trênTÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có t Về các nhóm con trong vành chia tròn tàm và giá' sứ G ỉa nhóm con á chuẩn tấc của D-. Nếu G cán trên tâm Z(D) của D thì G nằm trong Z(D).Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi chứng minh dược Giả thuyết Ilerstein vẫn còn dúng dối với lớp vành chia hữu5hạn chiêu địa phương trên tâm. Về các nhóm con trong vành chia TÓM TẮTĐê tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu vê tính chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia. Vê mặt khái niệm, vành chia có tGọi ngay
Chat zalo
Facebook