CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

Add your review

6.000

Add to wishlistAdded to wishlistRemoved from wishlist 0

6.000

CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN  NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

fff

CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN  NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

fff

CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN  NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

fff

CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN  NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

fff

CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN  NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

fff

CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN  NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

fff

CHUYÊN ĐÈ

NGHIỆM CÙA ĐA THỨC

Nguyên Thị Bích Xuân

Giáo viên Trường THPT Chuyên Nguyên Bỉnh Khiêm, tình Quang Nam

Mơ ĐÂU

Đa thức là một đề tài khá rộng, đày lã dạng toán thường xuyên xuất hiện o các đề thi trong các Ký thi chọn học sinh gioi quốc gia.

Trong bài viết này, tôi giới thiệu một số bài toán liên quan đến vấn đề:

Sử dụng các tinh chất nghiệm cũa đa thức CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN Nghiệm đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM vào việc giãi quyết các bài toán đa thức.

CÁC BÀI TOÁN

Bài 1. Cho đa thức p(x) = x’ + ax2 + bx + c có 3 nghiệm phân biệt trên R và đa thức p(q(x)), trong đó q(x) = X2 + x + 2011 không có nghiệm thực.

Chúng minh rang: p(2011) >

Giãi:

Gọi X], X2, X3 là 3 nghiệm cua p(x), ta _ CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM có: p(x) = (x – Xt) (x – X;) (x – X;)

=> p(q(x)) = (q(x) – X]) (q(x) – X2) (q(x) – X3), trong đó: q(x) 7 Xi, V X

Xét q(x) – Xị, với i = 1.3 => q(x) – Xi = X2 + X + 2011 CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM – Xi

Ai = 1 -4(2011 – Xi)

Vi q(x) Ị Xi => q(x) – X, vô nghiệm => Ai < 0 => 1 – 4(2011 – X:) < 0

=>2011-Xi > I

=> (2011 – Xj)(2011 – X2)(2011 – X3) >

Vậy p(2011) > (đpcm).

Bài 2. Cho đa thức p(x) = X + X2 + CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM X3 +…+ x2n + 2011x2n+l -2012.

Chứng minh răng: p(x) có nghiệm duy nhất trên i .

Giãi:

Ta có: p(x) = X + X2 + X3 +…+ x2n + 201 lx2n*’ – 2012 = 0

<=> X + X" + X3 +…+ x2n + 201 Ix2"*1 = 2012

Xét đa thức: f(x) = x + X* + X3 +…+ x2n + 201 Ix2”*1 trên CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM R.

= X + x2(l+x) + x3(l+x)+…+ x2n(Hx)+2010x2n*1

*Với x<-l=>l+x<0=> f(x) < 0 => phương trinh f(x) = 2012 vô nghiệm.

*Với -1 < X < 0: f(x) < 0 => f(x) = 2012 vô nghiệm.

*Với X > 0: f(x) = CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM 1 + 2x + 3x2 +…+ 201 l(2n+l)x2° > 0

=> f(x) đồng biến trong (0: +oo)

Ta có: f(0) = 0 và = (vì f(x) liên tục trên (0; +oo))

=> Tồn tại duy nhất Xo€(0;+ao) dề f(Xo) = 2012

Vậy p(x) = 0 có nghiệm duy nhất dương (đpcm).

CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM Bài 3. Cho các số ai, bi thỏa mãn: 0 < bo < |a0|; bi > |ai|, i = l.n;

Hai đa thức p(x) = aox" + aiX1‘-’ 4-…+ a„ và q(x) = box“ + biX0-1 + …+ b„

Chúng minh rang:

a) q(x) có nghiệm duy nhất dương

b) Nghiệm cùa p(x) (nếu có) có giá trị tuyệt CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG Chuyên nghiệm đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM đỗi không vượt qua nghiệm dương của q(x).

Giãi:

  • a) Chứng minh q(x) có nghiệm dương duy nhất

Tacó:q(x) = x"     -7-7- –7j

Suy ra: q(x) có nghiệm dương <-> h(x)-                   cỏ nghiêm dương.

Ta cớ: h’(x) –                         ’ v<ft niọi X >0

Suy ra: h(x) tăng trên CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM (0; I uo) vả linAk(x)=

> °, toACx) = -«

-> Tồn tại duy nhất sổ XvG (0; I oo) sao cho h(x) ~ 0

Tức là h(x) – 0 có nghiệm duy nhai dương

Suy ra q(x) có nghiệm dương duy nhất (dpcm).

  • b) Do hâm số h(x) dồng biến trên (0;+co), Xo lả nghiệm của CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM h(x) trong (0; +oc)

Suy ra: V x > Xo => h(x) > h(Xo) = 0 => q(x) > 0

Và VX e(0;Xo] => h(x) < h(Xo) = 0 => q(x) < 0

Cằn chứng minh: nghiệm X1 cùa f(x) thỏa màn X1| < Xo

<=> g( Xi|) < g(Xo) CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM = 0 (do (1)).

<=> g(|xi|) < 0.

Giã sứ X1 là nghiêm cúa f(x)

Ta cớ: f(xi) – 0

<->aXin I aXin 1 I …I au-()

—> ) aoXi*1 + aiXi“-1    aa I > |a«Xia| – |aiXin-1+ ..a»Ị

  • >  |aoXia| – laiXi0"1! – |a;xin’-| – CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN

;

NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM …" |afi| –

-|aoW-|a1l|x1fl||-Mx1n2|-…-|an|

  • >  bolxfl – b1|xin-‘| – bJX]fl:| -|bn| = g(|xi|)

AqdxdAO

=> Ịxil e (0;Xo]

=> Xil < Xo (đpcm).

Bài 4(VÔ dịch Mỹ). Tìm 111, n GZ* sao cho đa thức P(x) = xm + x“1 +…+ X + 1 CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM là ước của Q(x) = 1 + x" + x2n + x5n + …+ xmn.

Giãi:

Ta thấy các đa thức Qo(x) = x(m*1)0 – 1 = ( xn – l)Ọ(x) và Po(x) = (x – l )P(x) không có nghiệm bội (phức) nên P(x).Ọ(x) cùng không có nghiệm bội.

Do đó: P CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM (x) Ọ(x) mọi nghiệm cùa P(x) cũng là nghiệm của Ọ(x).

Ta có các cặp đa thức xn – 1 , Q(x) và X -1 . P(x) không có nghiệm chung.

Đồng thời Po(x)|Qo(x), (X-1) (x(mT1)a – 1)

Nèn mọi nghiệm cũa P(x) cùng là nghiệm là nghiệm của Ọ(x) CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM 40 X – 1 và _ Ị cẠ Ị nghiệm chung duy nhất là X = 1.

+Trường hợp 1: d = (m +1, n) > 1.

Khi đó 2 đa thức X – 1 và x(m *1,n – 1 có một nghiệm chung khác 1 là: o= cos 2n 2n đ + i sin đ nên không thoa màn.

+Tnrờng hợp 2: (m +1, n) =1. CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

Khi đó tồn tại k. 1 sao cho k(m + 1) + nl = 1.

Già sir hai da thức X – 1 và x<ra"1:m – 1 nhận nghiệm chung là Xo.

Dẻ thấy Xo1 = XokíM"lHd = (Xo“+1 )k.( Xo°)l= 1 (thỏa màn).

Vậy hai số nguyên dương m. n thoa màn đề bài khi và chí khi (m +1. n) CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM = 1.

Bài 5 (dự tuyển IMO 2005).

Tìm tất cà các đa thức p(x) 6 Z[x] là monic bậc 2 sao cho tồn tại đa thức q(x) G Z[x] mà các hệ số của đa thức r(x) = p(x).q(x) đều thuộc { – 1, 1}.

Giài:

Xét p(x) = X2 + ax ± 1, a G z CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM .

Giã sir r(x) =        , a, e {-1,1} và z là 1 nghiệm (phức) cũa r(x) mà |z >1.

Tacó:|.-r=|-A.-|sẸ.#=i1(Ịi.-i-iis|.-r-i=>i–r(i–i-2)s-i

=> |z|<2

Như vậy. mọi nghiệm cua r(x) đều có mođun nho hơn 2.

Từ đó. nếu gọi Z|, Z: là các nghiệm cùa p(x) thi ta có Zt, Z; lã các nghiệm cua r(x CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM ) nên |zi|< 2 và Z;| < 2.

Ngoài ra. ta có: Zi|.|z;i = |ZjZ;| = 1.

Không mất tỉnh tổng quát, giã SỪ |Z1 2 Z’l, suy ra: is|-|<2; os|Ư<l

Ta Jại có: I Z1 + Z2I = |a < |Z1| + |z>| <1+2 = 3, suy ra: a € {-2, -1. CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM 0. 1. 2}

+ Với a =0 thi q(x) = x + 1 (vi p(x) = X- ± 1 )

+ Với a = ± 1 thi q(x) = 1 (vi p(x) = X2 ± X ± 1)

+ Với a = ± 2 thì p(x) = x;± 2x ± 1

  • – Neu p(x) = x2± 2x + 1 thi q(x) CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM = X ± 1

  • – Nếu p(x) = x2± 2x – 1 thi không thỏa màn vi có 1 nghiệm với mođun >2.

Vậy p(x) là : x2± 1, x2± X ± 1, x2± 2x ± 1

Bài 6 (Rumani 2001).

Cho 116 z+, 11 chẵn và a, be R thoa mãn: 3a + 1 = b". Chứng minh ràng:

Đa thức p(x)= (x2 + X CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM +1)" – x" – a chia hết cho đa thức q(x)= X3 + X2 + X + b khi và chi khi b = 1.

Giãi:

M x| = x3+x;+x= x+l)( X + L +

Giã sử b = 1 khi đó: 3a + 1 = bn = 1 => a = 0 và T , „                      .

Ịplx|=|x’+x+l> -x“

Ta có CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM : X + 1, X2 + 1 là hai đa thức nguyên tố cùng nhau và đều là ước cũa p(x) nên p(x) h q(x).

+ Giã sữ p(x) h q(x) khi đó b # 0 (vi nếu b = 0 thi q(x) = X3 + X2 + X p(x)

=> X I p(x) => a = 1 vô lí với 3a + 1 = bn). CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM

Vi b 0 nên q(x) = X3 + x: + X + b có 3 nghiệm (phức); Z1, Z2, Z1 khác 0. Theo định lý Viet: Z1. Z2. Z3 = – b.

XT…………………………………………………………..

Như vậy, với i, j, k 6 {1,2,3} phân biệt, ta có: z: + z: +1zj-zk (1)

Vi p(x) CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM h q(x) nên Z1, Z2, Zi là nghiệm của p(x)

=> P(Z1) = P(Z:)= P(Z3) = 0 => p(Z]) + P(Z2) + P(Z3) = 0

Hay V| z,2 +z, +1)" ~Vz, -3a =0

(2)


Từ(l) vá (2). ta có: ị ZtZ2 r +(Z;Z3 CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM )" +(z,z,)’-z"-z"-z,"-3a = 0

<=> Ị!—,*)(1                          “3ữ“l = 0

<=> ị 1      11 – –;) 11


)• + b- – ỉa -1 = ũ


Không mất tính tổng quát, giã sir 1 – Z1“ = 0 <=> Z1“ = 1.

+Trường hợp 1: Z| = 1.

…………….. ,            .

Ta có: q( CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYEN Bỉnh KHIêM quảng nam zi) = 0 =>q(l) = 0. Từ (1) => Zi: + Z] + 1 = -T~=> b = -3

Mặtkhác:p(l) = o=>(l + 1+ l)n– l°-a = 0<=>3°- 1 -a = 0.

íy=3a + l          .

_    .       .                  fe-II J ___________________

____Như. vayjacp: P = 3______cHuYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN nghiệm đa tHỰC Của NGUYỄN BỈNH Khiêm qUaNg NAM => ĩ ~    => 3a

+1 = a +1 (do n chăn)

i?*-l-o = 0 í=a + 1

=>a = 0

0

User Reviews

0.0 out of 5
0
0
0
0
0
Write a review

There are no reviews yet.

Be the first to review “CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM”

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Vendor Information

  • No ratings found yet!
Added to wishlistRemoved from wishlist 0
Báo cáo đồ án phát triển ứng dụng web đề tài quản lý bán đồ nội thất gỗ online cửa hàng mộc phúc
Added to wishlistRemoved from wishlist 0
98.000
Added to wishlistRemoved from wishlist 0
Giải pháp phát triển du lịch văn hoá ở huyện tam đảo   vĩnh phúc
Added to wishlistRemoved from wishlist 0
18.000
Added to wishlistRemoved from wishlist 0
Tuyentap damphuong nusu chua xac dinh
Added to wishlistRemoved from wishlist 0
20.000
Added to wishlistRemoved from wishlist 0
Báo cáo thực tập kỹ thuật công ty cổ phần chăn nuôi việt nam cp
Added to wishlistRemoved from wishlist 0
98.000
Sold by
@ xcnguyen220
CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN  NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM
CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN NGHIỆM đa THỨC của NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM
Kho Thư Viện
Logo
Shopping cart