Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

➤ Gửi thông báo lỗi ⚠️ Báo cáo tài liệu vi phạm

Loại tài liệu: PDF

Số trang: 42 Trang

Tài liệu: ✅ ĐÃ ĐƯỢC PHÊ DUYỆT

TẢI VỀ

Nội dung chi tiết: Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

1Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về nhóm, và một số kiên thức số học được sử (lụng trong luận văn. Các kết quả trong chươ

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn ơng này chu yếu (lược tham kliáo tử các tài liệu 1], [2], [3],'à[5]”r|—Ị I H T F l\lbMột. nhóm (G. •) là một tạp hợp (ỉ 0 trôn (ló (lã trang bị một ph

ép toán hai ngôi • thỏa màn các (liều kiện sau (lây:(i)a • (b ■ c) = (a • ờ) • c với mọi a.b.ct G.(ii)Tồn tại một phần tứ e € G sao cho a • e = a = e Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

■ (I vói mọi a € G.(iii)Với mọi a e G tồn tại phần tử a' € G sao cho a • a1 = a' • a = e.Dê (lơn giản, ta ký hiệu (ib thay cho (I’b. Phần tứ e xác (lị

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

nh trong (ii) là duy nhắt, (lược gọi là phần tứ đơn vị của nhóm CẠ và thường ký hiệu là 1. Với mồi a G 6’, phần tử a' xác định trong (iii) là duy nhất

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn u hạn phần tir thì ta gọi G là một nhóm hữu hạn. và gọi số phần tử cha G là cấp cha nhóm G. và ký hiện là |G’|.Cho G là một nhóm, và 11 là một lập con

của G. Ta gọi 11 là một nhỏm con cha. G. ký hiện là H c G. nến các diều kiện sau (lay thỏa mãn:(i)Phép toán trên G hạn die len H cám sinh một phép to Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

án tren H.(ii)H là. một nhóm với phép toán cam sinh.Cho G là một nhóm, và s là một tập con của G. Ta ký hiệu (S') là nhóm con bé nhát cha G chứa S’, v

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

à. gọi s là một tộ:p sinh của (S). Dặc biệt, một nhóm có tập sinh chỉ gồm một phần tứ (ĩiíỢc gọi là nhóm TÌclíc. Rỏ ràng nếu G = (à) thì G = {(I* I k

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn là các nhóm. Ký hiệuG = G’l XG-2 X • • -xGn = {(xi, X-2,.... Xn) I Xi 6 Gj với mọi i = 1.2...., ĨI}.Khi đó G1 X G-2 X • • • X G’r, là một nhóm vói phé

p toán xác (tịnh như sau:(rr1: .r2, . . . ,1/2, ■■■: Un) = (n?/l,X2ỉj2. - ■ • , XnynỴNhóm G (lịnh nghĩa như trên dược gọi là tích trực tiếp cha. các n Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

hóm G].G-2. ■ ■ ■ ,Gn.Cho G’1- Gv2, • - - ,Cn là các nhóm hữu hạn và |G\| = n-i với i = 1.2,..., n. Nhóm G] X G-2 X • • • X G’n là xiclíc khi và chỉ k

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

hi các nhóm Gi, í = 1,2,..., n, lù xiclíc và (rii, ĩij) = 1 với mọi i j.6Clio G và H là hai nhóm. Một ánh xạ f : G “> H dược gọi là một đồng cấu nhóm

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn dưng cấu), llai nhóm G và 11 được gọi là đắng cấu với nhau, ký hiộu là G — 11. nếu tồn tại một dắng can nhóm từ 6' den H. Một dồng can (tương ứììg dẳ

ng cấn) từ một nhóm G đến chính nó dược gọi là một tự dồng cấu (tương ứng tự dắng cấu) trên G. Ta ký hiệu Ant(C) là nhóm các tự dẳng cấu của G.Mọi nhó Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

m TÌclíc cấp ni với m nguyên dương đều dắng cấu với nhóm cộng Z/mZ.Cho Ar và H là hai nhóm bất kỳ, và cho ti : H —> Aut(jV) là một. dóng cấu nhóm. Khi

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

dó, tập hợpG = {(t,/z)|j,-G.V,/?€ H}là một nhóm vơi phép toán xác định như san: vơi mọi (.Ti- /?1). (.r2. h?) c G’.(.T1J?1)(.T2,/Z2) = (.T1ớ(h1)(.T2)

Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn biệt khi 0 là dỏng cấu tằm thường thì lích nửa trực tiếp chính là tích trực tiếp.Sau đây là một số sự kiện về nhóm abcl.ICho G là một nhóm abcl hữu hạ

n cấp n. Khi đó(S = X Hp,2 X • • • X HPktrong dó Pỵ,/>2,...,Pff là các ước nguyên tố phàn biệt của n, và Hpt là Pi-nhóm con Sylow cùa G với i = 1,2,.. Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

., k.