Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
➤ Gửi thông báo lỗi ⚠️ Báo cáo tài liệu vi phạmNội dung chi tiết: Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
Chương 5Sơ Đồ XÂY DựNG SốChương này trước hết sẽ đưa ra một sơ đồ xây dựng số, bắt đầu từ Hệ tiên để Peano cho tập các số tự nhiên N và kết thúc bổi t Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 thể các quaternion H. Tiếp theo là số học cùa các số siêu hạn, đó là số học của các bản số.§L TẬP HỢP CÁC SỐ Tự NHIÊN NCó thể nói ràng, con ngưòi nhận thức ra các con số 0, 1,2,... cùng một lúc với việc nhận ra các vị ngọt, chua, cay, đắng,... khi ăn các thức ãn. Đê’ thống nhất cách hiểu một đối tượ Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 ng, nhất là một đối tượng trỏ thành một đối tượng toán học, người ta cần phải xác định nó một cách thật khách quan và tưòng minh. Thật không dễ dàng gGiáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
ì để nhân loại nhận thức ra rằng không thể định nghĩa được mọi điều. Đâ có một thòi kì dài các nhà toán học luẩn quẩn trong việc đưa ra các định nghĩaChương 5Sơ Đồ XÂY DựNG SốChương này trước hết sẽ đưa ra một sơ đồ xây dựng số, bắt đầu từ Hệ tiên để Peano cho tập các số tự nhiên N và kết thúc bổi t Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 ngắn”. Chẳng hạn như dâu đó có người đã định nghĩa số 1 là lực lượng của tập đơn phần tử.Lịch sử Toán học đã ghi nhận rằng, có nhiều nhà toán học đã đưa ra định nghĩa về sọ tự nhiên, nhưng họ đều mắc phải những mâu thuẫn đáng riếc. Bỏi trong mọi khoa học, người ta buộc phải thừa nhận sự tồn tại của Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 các đốỉ tượng cd bàn và các tương quan cơ bân, đó là các đối tượng và các quan hệ ban đầu không địiíh nghĩa. Ngày nay, người ta dã lấy các số tự nhiênGiáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
làm các đối tượng cơ bản; còn quan hệ kề sau làm tương quan cơ bản, mối quan hệ giữa các số tự nhiên thông qua quan hệ kề sau, được thể hiện bỏi hệ tChương 5Sơ Đồ XÂY DựNG SốChương này trước hết sẽ đưa ra một sơ đồ xây dựng số, bắt đầu từ Hệ tiên để Peano cho tập các số tự nhiên N và kết thúc bổi t Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 được gọi là một số tự nhiên. Giữa các phần tử của N có quan hệ kề sau thoả mãn bốn tiên đề sau đây:Hệ tiên đề Peano:(Nj) 0 là một số tự nhiên, và 0 không phải là số kề sau của bất cứ số tự nhiên nào.(N2) Mỗi số tự nhiên đều có một và chỉ một số tự nhiên kề sau nó.(N3) Mỗi số tự nhiên là số tự nhiên Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 kề sau của không quá một số tự nhiên.(N4) Mọi bộ phận D của N chứa 0 và cứ mỗi lần D chửa một số tự nhiên n thì D chứa cả số kề sau của n, thì Đ trùngGiáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
với N.Người ta gọi N là tập các so tự nhiên.Chú giải: Giuseppe Peano là một nhà toán học người Italia (1858'1932), õng đã đưa ra hệ tiên đề mang tên Chương 5Sơ Đồ XÂY DựNG SốChương này trước hết sẽ đưa ra một sơ đồ xây dựng số, bắt đầu từ Hệ tiên để Peano cho tập các số tự nhiên N và kết thúc bổi t Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 sau đây;(i)Neu một số tự nhiên khác 0 cùng là kề sau của các số tự nhiên a và b thi bỏi (N3) ta suy ra a = b.(ii)Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là kề sau cùa một số tự nhiên, Thật vậy, xét tập D gồm số 0 và những số tự nhiên là kề sau của một số tự nhiên. Khi đó bỏi 0 e D, và nếu a € D thì số kề sau củ Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 a nó hiển nhiên cũng thuộc D, nên theo Tiên đề (N4), D trùng vối N. Do đó kết hợp vỏi (N3), ta suy ra mỗi số tự nhiên khác số tự nhiên 0 là số tự nhiêGiáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
n kề sau của đúng một số tự nhiên.(iii)Tiên đề (N4) được gọi là tiên đề quy nạp. lừ tiên đề này ta rút ra rằng: Nếu một hàm mệnh đề p(n) của biến số tChương 5Sơ Đồ XÂY DựNG SốChương này trước hết sẽ đưa ra một sơ đồ xây dựng số, bắt đầu từ Hệ tiên để Peano cho tập các số tự nhiên N và kết thúc bổi t Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 o, người ta đã không coi 0 là một số tự nhiên, cũng như một nừa nhân loại đã không coi số 0 là một số tự nhiên. Nhưng ỏ đây chúng tôi đã trình bày số tự nhiên bắt đầu từ số 0, vì không muốn làm đảo lộn một hệ thống đã tạo thành một thói quen lâu nay ỏ nước ta. vả lại việc hợp thức coi 0 là một số tự Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 nhiên cũng rA ra ró nhi Ail Ifti điểm, hav chí ít là cũn? ohù hơo vối môt nửa thế £iổi.(v)Tiên đề (Nj) nói rằng trong tập N tồn tại một phần tử, khônGiáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
g phải là phản tử kê sau cùa bất cứ một phần tử nào, và theo (ii) thì phần tử này là duy nhất. Số duy nhất khỏi dầu dó, ta đặt là gì không quan trọng.Chương 5Sơ Đồ XÂY DựNG SốChương này trước hết sẽ đưa ra một sơ đồ xây dựng số, bắt đầu từ Hệ tiên để Peano cho tập các số tự nhiên N và kết thúc bổi t Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 1 chì được thề hiện trong câu trúc cùa các phép toán cộng và nhân trong N, sẽ đưọc xác định ỏ mục sau.2.Các phép toán trong tập NĐịnh nghĩa 1.2. Phép cộng trong N là một phép toán hai ngôi+ ;NxN — N(a, b) *-♦ a 4- bsao cho a 4- 0 = a và a 4- b' = (a + by với mọi a, b e N.Định lí 1.3. Ta luôn có các Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 khẳng định sau:(i)Ton tại phép cộng dược định nghĩa như trên.(ii)Phép cộng có tính chất kết hợp và giao hoán, và có phẩn tử trung hoà ỉà số 0. Dồng thGiáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2
ờia' 4- b = a 4- b'vói mọi a,b EN.Chú giải: Có thể tham khảo [1] để biết được những sai lầm thường mắc phải khi chứng minh định lí này.Chứng minh: (i)Chương 5Sơ Đồ XÂY DựNG SốChương này trước hết sẽ đưa ra một sơ đồ xây dựng số, bắt đầu từ Hệ tiên để Peano cho tập các số tự nhiên N và kết thúc bổi t Giáo trình Cơ sở lý thuyết số và đa thức: Phần 2 (a 4 bỴ vôi mọi b E N. Vối a = 0, ta đặc 0 4- b = b vôi mọi b G N. Khi đó 0 4- 0 = ó vàChương 5Sơ Đồ XÂY DựNG SốChương này trước hết sẽ đưa ra một sơ đồ xây dựng số, bắt đầu từ Hệ tiên để Peano cho tập các số tự nhiên N và kết thúc bổi tGọi ngay
Chat zalo
Facebook