Injections de sobolev probabilistes et a
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Injections de sobolev probabilistes et a
INJECTIONS DE SOBOLEV PROBABILISTES ET APPLICATIONSjxirNicolas Đurq Âr Gilles LebeauarXiv:l 111.7310vl [math.AP] 30Nov2011RÉaumé. — Oil di'inontre dan Injections de sobolev probabilistes et a ns cel article des versions probabilistic lies injections lie Sobolev sur line variyty riemannienne compacte, (A/,p). Plus próciscment on dómontre quo pour des mcsurcs de probability naturellcs sur I’cspace L2(A/), prosque toute fond ion appartient ả tons les espaces /J’(Af), p <_ +oo. On donne ensu Injections de sobolev probabilistes et a ite des applications ủ 1’ytude des harmoniques spheriquessur la sphere S'*: on di-montre (encore pour des mesures de probability naturellcs) que presqInjections de sobolev probabilistes et a
ue toutc base Hilbcrticnnc de />''(3Injections de sobolev probabilistes et a
ur presque toule donnée initiate, Ils solutions faiblce sont fortes et uniques (localcment en temps).Abstract. — In this article, we give probabilistiINJECTIONS DE SOBOLEV PROBABILISTES ET APPLICATIONSjxirNicolas Đurq Âr Gilles LebeauarXiv:l 111.7310vl [math.AP] 30Nov2011RÉaumé. — Oil di'inontre dan Injections de sobolev probabilistes et a every function belong to all spaces Lp(Af), p < +oo. We then give applications to the study of the growth of the Lp norms of spherical harmonics on spheres 3J ; we prove (again for natural probability measures) that almost every Hilbert base of L2(Srf) made of spherical harmonics has all its elemen Injections de sobolev probabilistes et a ts uniformly bounded in all Lp(3d),p < +oc spaces. We also prove similar results on tori T*. We give then an application to the study of the decay ratInjections de sobolev probabilistes et a
e of damped wave equations in a frame-work where the geometric control property on Bardos-Lebeau-Rauch is not satisfied. Assuming that it is violated INJECTIONS DE SOBOLEV PROBABILISTES ET APPLICATIONSjxirNicolas Đurq Âr Gilles LebeauarXiv:l 111.7310vl [math.AP] 30Nov2011RÉaumé. — Oil di'inontre dan Injections de sobolev probabilistes et a -supercritical wave equation, for which we prove that for almost all initial data, the weak solutions are strong and unique, locally in time.Table des niatiẻres1Introduction ............................................................... 22Estimations probabilistic .................................. Injections de sobolev probabilistes et a ................ 63Application aux harmoniques spheriques .................................... 144Application ã la stabilisation des nudes ...........Injections de sobolev probabilistes et a
....................... 185Application aux ondes non-linéaircs sur-critiqucs ......................... 292NICOLAS BƯRQ & GILLES LEBEAU6Cas des variétíINJECTIONS DE SOBOLEV PROBABILISTES ET APPLICATIONSjxirNicolas Đurq Âr Gilles LebeauarXiv:l 111.7310vl [math.AP] 30Nov2011RÉaumé. — Oil di'inontre dan Injections de sobolev probabilistes et a cndicc B. Calcul /ỉ-pscudodifférenticl ...................................... 34Appendice c. Quelqucs propriótốs des mesures ................................... 3GReferences ..................................................................... 411IntroductionL'objct de cet article cst de demont rcr Injections de sobolev probabilistes et a quo si on choisit des functions au hasard sur une variety compactc, pour des xncsurcs de probability naturcllcs, alors il est possible d’ameliorcr graInjections de sobolev probabilistes et a
ndement les injections de Sobolev elassiques. Plus préciscment notre cadre cst le suivant. Soit (A/, *7) une varictc riemannienne lissc compactc, sansINJECTIONS DE SOBOLEV PROBABILISTES ET APPLICATIONSjxirNicolas Đurq Âr Gilles LebeauarXiv:l 111.7310vl [math.AP] 30Nov2011RÉaumé. — Oil di'inontre dan Injections de sobolev probabilistes et a tions propres réelles, de sorte que — A< j = (Jjje.j. Soicnt 0 < a < b et Eh le sous cspacc de L2(Af)-1.1Eh = {u = 57 zkek(^), *k € C}, Ih = {&, hu>k €]«.6]}.fce/*Soit Nh = dimfEfc). D'aprcs la formule de Weyl, avcc rcstc precise (voir 114, Theorem 1.1|), on a pour II €]0.1]-1.2Nh = (27T/»)-dVol(Ad) Injections de sobolev probabilistes et a Vol(5s-1) / /-'dp + 0(/rd+1).J(a,6)Rappclons qu'il existe line constantc c independante de h e]0.11 telle qu’on a-1.3IMI/.-(.V) < CA-*2||«|IlS(m) VueEInjections de sobolev probabilistes et a
ket quo plus généralcinent, si A(x, l>Dr) cst un opératcur A-pscudodiffcrcnticl elassique sur A/ de degry 0 et 11 support cssentiel content! dans {(.rINJECTIONS DE SOBOLEV PROBABILISTES ET APPLICATIONSjxirNicolas Đurq Âr Gilles LebeauarXiv:l 111.7310vl [math.AP] 30Nov2011RÉaumé. — Oil di'inontre dan Injections de sobolev probabilistes et aInjections de sobolev probabilistes et a
es probabilites Ph Ct Ph sont associécs ã uno repartition unifonne de I’cncrgic dans I’cspacc de phase T*M pour la xnesure de Lionville canoniquc d/\ INJECTIONS DE SOBOLEV PROBABILISTES ET APPLICATIONSjxirNicolas Đurq Âr Gilles LebeauarXiv:l 111.7310vl [math.AP] 30Nov2011RÉaumé. — Oil di'inontre dan Injections de sobolev probabilistes et a at probabilistc csscnticllenient elassique sui\*nnt, qui cstimc la inesure des u € Eh de grande nonne L00.SOBOLEV PROBABILISTE3Thẻorème í. — Pour tout 02 < Vol(.M), il existe c > 0 tel que pour tout h c]0.1] et tout A > 1 on ait, avec Cl = í/(l + d/2) Injections de sobolev probabilistes et a INJECTIONS DE SOBOLEV PROBABILISTES ET APPLICATIONSjxirNicolas Đurq Âr Gilles LebeauarXiv:l 111.7310vl [math.AP] 30Nov2011RÉaumé. — Oil di'inontre danGọi ngay
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